先入観って怖いですね

数学ネタなんですが、先入観って怖いなあと思うようなことがあったので。。。

以下の2問をまずは見比べてください

  •  {p}が素数ならば{p}^{4}+14は素数ではないことを示せ
  •  {n}を2以上の整数とするとき{n}^{4}+4は素数にならないことを示せ

どちらも似たような問題ですね。上は今年の京都大学文系の問題、下は「理系数学良問のプラチカ」という問題集に出ていた問題です。某大学の入試問題です。

京都大のほうの問題は、 {p}^{4}+14に2,3,5,7と具体的な素数をpに代入すると、3の倍数になることに気が付きます。そこで、3で割ったあまりを考えて素数にならないことを示します。

となると、下の問題もあまりで分類したくなりますよね。ところがこれあまりで分類しようとしてもうまくいきません。どうやるかというと {n}^4+4 {n}^4+4{n}^2+4-4{n}^2と考えて因数分解すると ({n}^2-2n+2)({n}^2+2n+2)となり、ここから {n}^4+4合成数であることを論じていきます。

ちなみにこの因数分解は数1の基本的な問題ですので、そこまで難しい話ではないです。チャートに普通に出てたりします。

似たような問題でもうまくいかないときは別の方法に切り替えるのが大事ですね。