π>3.05を示せ

有名な問題ですよね。一般的には、半径１の円の面積とそれに内接する正12角形の面積をそれぞれ幾何的に計算し、評価するようですが、ここではちょっと違った方法でやってみます。 この解法は、計算がだいぶ面倒なため、一部計算について算出用のプログラムを作成し、それを用いました。そのため、試験場で採用するには現実的ではないものとなります。そして最初に断りますが、この解法について、数学の専門家等に検証してもらったわけではありません。あくまで個人の思い付きレベルですので、流用などの際は注意してください。また、本解法を適用して損害を被ることがあっても責任は負えません。ご了承ください。

解説

以下の積分値を利用します。 \int_0^{1} \displaystyle \frac{1}{1+x^{2}} dx = \frac{\pi}{4}

これは、関数\displaystyle \frac{1}{1+x^{2}}における {0}\leqq{x}\leqq{1}の面積を表しています。図で表すと下の青色部分です。

f:id:hatek47320:20210530222735p:plain

これに対して、例えば、以下のようなグレーの多角形で囲まれた部分の面積を考えてみます。

f:id:hatek47320:20210530230548p:plain 一例として横幅が \displaystyle \frac{1}{4}、縦幅は長方形の右上頂点がグラフ上にあるように収めてみました。 ※わかりやすいかなと思ってあえて約分はしていません

さて、ここで方針の説明ですが、今回は上記について「青色の部分の面積＞グレーの多角形の面積」を示し、そこから、π＞3.05を示します。

青色の部分の面積は冒頭説明した通り\int_0^{1} \displaystyle \frac{1}{1+x^{2}} dx = \frac{\pi}{4}です。ここで、示したいのは {\pi}>{3.05}ですが、青色の部分の面積に合わせて、両辺を4で割った \displaystyle \frac{\pi}{4}>{0.7625}を示すことをまずは目標にします。

グレーの多角形について計算してみます。グレーの多角形を構成するそれぞれの長方形の面積は \frac{i}{4}*f(\frac{i}{4})（ただし、i=1,2,3,4）と計算できるので、これらをすべて足し合わせると約0.72029となります。グレーの多角形が0.7625以上になってほしいのですが、0.04ほど不足していますね。どうにかしてグレーの多角形の面積を増やしたいです。というわけで、長方形の横幅を先ほどの半分の \displaystyle \frac{1}{8}にしてみます。 f:id:hatek47320:20210530231419p:plain すると先ほどよりもグレーの多角形の面積が増えているように見えます。一般に、長方形の横幅を小さくするとグレーの多角形の面積はだんだん増えていきますが、これを説明するとだいぶ本筋からずれるので、この事実は認めてしまいましょう。（もっと正確に言うと \displaystyle \frac{\pi}{4}に徐々に近づきます）

グレーの多角形の面積は、横幅が \displaystyle \frac{1}{8}刻みとなることに注意すれば、先ほど同様 \frac{i}{8}*f(\frac{i}{8})（ただし、i=1,2,...8）を足し合わせて計算できます。実際に計算すると約0.75349となりますが、まだ足らないですね。そのためさらに長方形の横幅を小さくする必要があります。とりあえず横幅を変えていった場合の計算結果を以下に示します。

横幅 計算値 評価結果
1/4 0.72029 ×
1/8 0.75349 ×
1/9 0.75710 ×
1/10 0.75998 ×
1/11 0.76232 ×
1/12 0.76427 〇

横幅が1/12の時に初めて0.7625を超えました。この時、 \displaystyle \frac{\pi}{4}>{0.76427}>{0.7625}となり、目指していた式 \displaystyle \frac{\pi}{4}>{0.7625}を得ることができました。そして、元々の命題である {\pi}>{3.05}を示すことができました。

最後に

Texの使い方が不慣れなので色々見にくいところはご了承ください。

グレーの多角形の面積を出すところは、横幅を変えていって0.7625を上回るまで検証し、計算をするのは実際の試験場では相当大変です。今回は横着をしてＲｕｂｙで適当にプログラム組んでグレーの多角形の面積を算出しました。試験場でこの方法で解くのは非現実的ですね。 ただ運よく横幅1/12の時に式を満たせそうと、ラマヌジャンばりの神のお告げが聞こえてきたとして、数値計算をせずに「横幅1/12の時に式を満たす」の記述だけで点が来るのであれば、こんな計算しなくていいのですが、多分来ないな笑